"最小二乘法"是针对线性问题研究的,如原理中的基本式,如(式1-1)。

    y  = a0 + a1 x                  (式1-1) 

针对实际过程变量有计算的非线性问题,采取取对数的方法计算值,如事例:

 有一过程通过研究机理得到机理模型如(式1-2)

       E = a R k                                  (式1-2) 

 有一组关于 E 和 R 的数据如表

E

10

20

30

40

50

60

70

80

90

R

1.0

1.15

1.25

1.41

1.54

1.68

1.71

1.78

1.90

  要通过机理模型和数据,用最小二乘法计算 a 和 k,需通过对机理模型(式1-2)变形得到(式1-3)

     Ln(E) = Ln(a R k)                          (式1-3)  

  (式1-3)变形得(式1-4)

     Ln(E) = Ln(a) + kLn(R)                   (式1-4)

 令:y = Ln(E)  , a0 = Ln(a) , a1 = k  ,  x = Ln(R) ,就能变成(式1-1) 的形式,并能回归计算(计算从略)出 a0 和 a1 值,那么,机理模型 (式1-2) 中的 a = ea0 ,k = a1。

 

"最小三乘法"就是针对非线性的值计算研究的,不能用上述事例的方法解决,如(式2-1)。

      y  = a0 + a1 x k                              (式2-1)

  通过(式2-1)变形得到(式2-2)

      y - a0 = a1 x k                            (式2-2)

  通过(式2-2)变形得到(式2-3)

    Ln( y - a0 )= Ln(a1 x k)                        (式2-3)     

  通过(式2-3)变形得到(式2-4)

      Ln( y - a0 )= Ln(a1) + Ln(x k)                (式2-4)

  通过(式2-4)变形得到(式2-5)

    Ln( y - a0 )= Ln(a1) + k Ln(x)                  (式2-5)

  通过(式2-5)变形得到(式2-6)

     Ln(y) = Ln(a1) + k Ln(x)                       (式2-6)

用上述事例中同样的方法,显然(式2-5)中 a0 到(式2-6)变没了,才能回归计算,如果实际过程通过坐标原点,这样回归计算可以,但是,大部分过程并不通过坐标原点,所以 a0 计算不出来,说明这种方法计算非线性值不可以,因此回归计算(式2-1)这类非线性过程,必需用"最小三乘法"。