最小二乘法

在研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x₁, y₁、x₂, y₂... x_m , y_m)；将这些数据描绘在x -y直角座标系中(如图1), 若一条直线在些点附近，令这条直线方程如(式1)。 

                                        图1

                              式1

式中： 是任意实数

为建立拟合方程，就要确定 值，用实测值 减计算值，即。在计算的平方和如(式2)， 最小为“优化判据”。 

                           式2

把(式1)代入(式2)中，如式 3：

                   式3

用函数分别对 求偏导数，令这三个偏导数等于零即：    

                                     　　　 式 4

                                                    式5

亦即： 

          式 6

          式 7

得到的两个关于a₀、 a₁为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：

                   式 8

               式 9

这时把a₀、a₁代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。 

在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x₁, y₁、 x₂, y₂...x_m,y_m),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好。

   式 10

在(式1)中，m为样本容量，即实验次数；x_i、y_i分别任意一组实验 x、y 的数值。